@ggg0820 15 December 2021 more from that month

以前發過兩篇介紹數學危機的文章，今天把最後一篇補齊好了 第一次數學危機:https://noise.cash/post/q02xjvptg774 第二次數學危機:https://noise.cash/post/k0n77jkan552 第三次數學危機「理髮師悖論」 主角:伯特蘭·羅素(Bertrand Arthur William Russell) 悖論內容:有一位理髮師，他只幫不自己剃頭的人剃頭，那他要不要幫自己剃頭? 如果他不自己剃頭，他就是「不自己剃頭的人」，依照他的堅持他必須幫自己剃頭，但這樣就跟假設矛盾了。 如果他自己剃頭，他就不是「不自己剃頭的人」，依照他的堅持他不能幫自己剃頭，這樣也跟假設矛盾了。所以他要不要自己剃頭呢? 直觀的看，這個悖論並不很「數學」，只是在描述一個無聊的敘述，但轉成數學的語言就是: Define S is a set and x∈S iff x∉x. Consider S itself, we get S∈S iff S∉S. 顯示了當時的集合概念就是一坨狗屎。 這個問題讓當時的數學家們開始思考怎麼de掉這個bug，羅素後來還把集合論重新定義過，跟人一起寫了一本書，書名叫數學原理，一聽就知道就沒有人會買。我沒有要寫這本書裡怎麼解決這個悖論，因為我沒看過這本書。 後來數學家們定義了ZFS公理系統(Zermelo-Fraenkel-Skolem Set Theory)，這個集合論解決掉這個bug，解法是說理髮師悖論的邏輯有漏洞。但還是有bug(笑)。 具體來說，這個系統就像幾何的5條公設一樣，符合那5條公設可以得到歐氏幾何，不完全符合這5條中的第5條可以得到非歐幾何。 但是集合論實在太重要了，所以康托爾就把集合論公理化(https://zh.wikipedia.org/wiki/公理化集合論)。公理就像是人們約定好的事情寫成規則，像是皮亞諾公理是在講怎麼定義n(自然數)還有加法運算的基礎。 還有一些類似於理髮師悖論的有趣東西，像是哥德爾不完備定理(有些東西不能被證明)，例如:「我現在在說謊」這個命題無法證明是真是假。